Определители квадратных матриц.

Определитель матрицы – это число, характеризующее квадратную матрицу А и тесновато связанное с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается либо . Хоть какой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону вычисленное некое число, называемое определителем, либо детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Разглядим определители второго и третьего порядков Определители квадратных матриц..

Пусть дана матрица

,

тогда ее определитель второго порядка рассчитывается по формуле

.

Пример. Вычислить определитель матрицы А:

Ответ: -10.

Определитель третьего порядка рассчитывается по формуле

.

Пример. Вычислить определитель матрицы В

.

Ответ: 83.

Вычисление определителя n-го порядка делается на основании параметров определителя и последующей аксиомы Лапласа: определитель равен сумме произведений частей хоть какой строчки (столбца) матрицы Определители квадратных матриц. на их алгебраические дополнения:

.

Алгебраическое дополнение элемента равно , где - минор элемента , получаемый методом вычеркивания в определителе i-ой строчки и j-го столбца.

Минором порядка элемента матрицы А именуется определитель матрицы (n-1)-го порядка, приобретенный из матрицы А вычеркиванием i-ой строчки и j-го столбца.

Пример Определители квадратных матриц.. Отыскать алгебраические дополнения всех частей матрицы А:

.

Ответ: .

Пример. Вычислить определитель матрицы треугольной матрицы:

.

Ответ: -15.


Характеристики определителей:

1. Если какая-либо строчка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-нибудь строчки (столбца) матрицы помножить на число , то ее определитель умножится на это Определители квадратных матриц. число.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не поменяется.

4. При перестановке 2-ух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет символ на обратный.

5. Если квадратная матрица содержит две схожие строчки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы 2-ух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведения частей какой-нибудь строчки Определители квадратных матриц. (столбца) матрицы на алгебраические дополнения частей другой строчки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не поменяется, если к элементам какой-нибудь строчки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строчки (столбца), за ранее умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений случайных чисел на алгебраические дополнения частей хоть какой строчки Определители квадратных матриц. (столбца) равна определителю матрицы, приобретенной из данной подменой частей этой строчки (столбца) на числа .

10. Определитель произведения 2-ух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Оборотная матрица.

Определение. Матрица именуется оборотной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева выходит единичная матрица:

.

Из определения Определители квадратных матриц. следует, что только квадратная матрица имеет оборотную; в данном случае и оборотная матрица является квадратной такого же порядка. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая квадратная матрица именуется невырожденной.

Нужное и достаточное условие существования оборотной матрицы: Оборотная матрица существует (и единственна) и тогда только тогда, когда Определители квадратных матриц. начальная матрица невырожденная.

1-ый метод вычисления оборотной матрицы:

1. Находим определитель начальной матрицы. Если определитель не равен нулю, то начальная матрица невырожденная и оборотная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения частей транспонированной матрицы и составляем из их присоединенную матрицу .

4. Вычисляем оборотную матрицу по формуле: .

5. Проверяем корректность вычисления Определители квадратных матриц. оборотной матрицы, исходя из ее определения .

Пример. Отыскать матрицу, оборотную к данной:

.

Ответ: .

2-ой метод вычисления оборотной матрицы:

Оборотную матрицу можно вычислить на основании последующих простых преобразований над строчками матрицы:

- перемена местами 2-ух строк;

- умножение строчки матрицы на хоть какое число, хорошее от нуля;

- прибавление к одной Определители квадратных матриц. строке матрицы другой строчки, умноженной на хоть какое число, хорошее от нуля.

Для того чтоб вычислить оборотную матрицу для матрицы А, нужно составить матрицу , потом методом простых преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу .

Пример. Вычислить оборотную матрицу для матрицы А:

.

Составляем Определители квадратных матриц. матрицу В вида:

.

Элемент = 1 и первую строчку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим простые преобразования, в итоге которых 1-ый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко 2-ой и третьей строчкам прибавим первую строчку, соответственно умноженную на 1 и -2. В итоге этих преобразований получим Определители квадратных матриц.:

.

Совсем получим

.

Откуда .

Ранг матрицы.Рангом матрицы А именуется наивысший порядок хороших от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang(A) либо r(A).

Из определения следует: а) ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров, т.е. r(А) меньше либо равен наименьшему из чисел m либо n Определители квадратных матриц.; б) r(A)=0 и тогда только тогда, когда все элементы матрицы А равны нулю; в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n и тогда только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Пример: вычислить ранги матриц:

.

Ответ: r(A)=1. Ответ: r(A)=2.

Назовем простыми преобразованиями матрицы последующие Определители квадратных матриц.:

1) Отбрасывание нулевой строчки (столбца).

2) Умножение всех частей строчки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строчки (столбца) соответственных частей другой строчки (столбца), умноженных на хоть какое число.

5) Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы не меняется при простых преобразованиях матрицы.

Примеры: Вычислить матрицу , где

; ;

Ответ: .

Пример Определители квадратных матриц.: Вычислить матрицу , где

; ; ; E – единичная матрица.

Ответ: .

Пример : Вычислить определитель матрицы

.

Ответ: 160.

Пример: Найти, имеет ли матрица А оборотную, и если имеет, то вычислить ее:

.

Ответ: .

Пример : Отыскать ранг матрицы

.

Ответ: 2.

2.4.2. Системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

,

где , - произвольные числа, именуемые соответственно коэффициентами при Определители квадратных матриц. переменных и свободными членами уравнений. Решением системы уравнений именуется такая совокупа n чисел ( ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений именуется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений именуется определенной, если она имеет единственное Определители квадратных матриц. решение, и неопределенной, если она имеет более 1-го решения.

Аксиома Крамера: Пусть - определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при переменных “х”, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А подменой j-го столбца этой матрицы столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Определители квадратных матриц.: (j=1, 2, …, n). Эти уравнения получили наименования формул Крамера.

Пример. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

Ответы: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Способ Гаусса – способ поочередного исключения переменных, состоит в том, что при помощи простых преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (либо треугольного) вида, из которой поочередно, начиная с последних по номеру переменных Определители квадратных матриц., находятся все другие переменные.

Пример: Решить системы уравнений способом Гаусса.

Ответы: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Для совместных систем линейных уравнений верны последующие утверждения:

· если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система уравнений имеет единственное решение;

· если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r

2.4.3. Разработка выполнения операций над матрицами в среде EXCEL.

Разглядим некие нюансы работы с табличным микропроцессором Excel, которые позволяют упростить расчеты, нужные для решения оптимизационных задач. Табличный микропроцессор – это программный продукт, созданный для автоматизации обработки данных табличной формы.

Работа с формулами.В программках электрических таблиц Определители квадратных матриц. формулы служат для выполнения огромного количества различных расчетов. При помощи Excel можно стремительно сделать формулу. Формула состоит из 3-х главных частей:

- символ равенства;

- совокупа значений либо ссылки на ячейки, с которыми производятся расчеты;

- операторы.

Внедрение в формулах функций. Чтоб облегчить ввод формул, можно пользоваться функциями Excel Определители квадратных матриц.. Функции – это интегрированные в Excel формулы. Для активизации той либо другой формулы следует надавить кнопки Вставка, Функции. В показавшемся окне Мастер функций слева содержится список типов функций. После выбора типа справа будет помещен перечень самих функций. Выбор функций осуществляется щелчком кнопки мыши на соответственном заглавии.

При выполнении операций над матрицами, решении Определители квадратных матриц. систем линейных уравнений, решении оптимизационных задач можно использовать последующие функции Excel:

- МУМНОЖ - умножение матриц;

- ТРАНСП - транспонирование матрицы;

- МОПРЕД - вычисление определителя матрицы;

- МОБР - вычисление оборотной матрицы.

Кнопка находится на панели инструментов. Функции для выполнения операций с матрицами находятся в категории Математические.

Умножение матриц при помощи функции МУМНОЖ. Функция Определители квадратных матриц. МУМНОЖ возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах 1 и 2). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2.

Пример. Отыскать произведение 2-ух матриц А и В в среде Excel (см. рис 2.9):

; .

- Введите матрицы А в ячейки А2:C3 и В Определители квадратных матриц. в ячейки E2:F4.

- Выделите спектр ячеек для результата умножения – H2:I2.

- Введите формулу умножения матриц =МУМНОЖ(A2:C3, E2:F4).

- Нажмите кнопки CTRL+SHIFT+ENTER.

Вычисления оборотной матрицы при помощи функции МОБР.

Функция МОБР возвращает оборотную матрицу для матрицы, лежащей в массиве. Синтаксис: МОБР(массив). На рис. 2.10 приведено решение примера в Определители квадратных матриц. среде Excel.

Пример. Отыскать матрицу, оборотную к данной:

.

Набросок 2.9. Начальные данные для умножения матриц.

Набросок 2.10. Начальные данные для вычисления оборотной матрицы.


opredelite-tip-finansovoj-ustojchivosti-predpriyatiya-ispolzuya-dannie-prilozheniya.html
opredelite-v-kakih-sluchayah-rech-idet-o-yuridicheskih-faktah-sobitiyah-a-v-kakih-o-yuridicheskih-faktah-dejstviyah.html
opredelite-vid-dilemmi-sdelajte-vivod-i-postrojte-ego-shemu.html